Rasional bir funksiya, N və D polinomları olduğu y = N (x)/D (x) formasını alan bir tənlikdir. Əl ilə dəqiq bir qrafik çəkməyə çalışmaq, əsas cəbrdən diferensial hesablamalara qədər ən vacib lisey riyaziyyat mövzularının bir çoxunun hərtərəfli nəzərdən keçirilməsi ola bilər. Aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirin: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Addımlar
Addım 1. Y kəsişməsini tapın
Sadəcə x = 0 təyin edin. Daimi şərtlərdən başqa hər şey yoxa çıxaraq y = 5/2 olaraq qalır. Bunu bir koordinat cütü olaraq ifadə edən (0, 5/2) qrafikdə bir nöqtədir. Bu nöqtəni qrafikə salın.
Addım 2. Yatay asimptot tapın
X -in böyük mütləq dəyərləri üçün y -nin davranışını təyin etmək üçün məxrəci uzun müddətə bölün. Bu nümunədə bölmə y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4) olduğunu göstərir. X -in böyük müsbət və ya mənfi dəyərləri üçün 17/(8 x + 4) sıfıra yaxınlaşır və qrafik y = (1/2) x - (7/4) xəttinə yaxınlaşır. Kəsilmiş və ya yüngül çəkilmiş bir xətt istifadə edərək, bu xətti qrafikləşdirin.
- Əgər payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən azdırsa, heç bir bölünmə yoxdur və asimptot y = 0 -dır.
- Deg (N) = deg (D) olarsa, asimptot aparıcı əmsalların nisbətində üfüqi bir xəttdir.
- Deg (N) = deg (D) + 1 olarsa, asimptot yamacında aparıcı əmsalların nisbəti olan bir xəttdir.
- Deg (N)> deg (D) + 1 olarsa, böyük dəyərlər üçün | x |, y, kvadratik, kub və ya daha yüksək dərəcəli polinom olaraq müsbət və ya mənfi sonsuzluğa sürətlə gedir. Bu vəziyyətdə, yəqin ki, bölünmənin hissəsini dəqiq bir şəkildə qrafikə salmağa dəyməz.
Addım 3. Sıfırları tapın
Rasional funksiya sıfır olduqda sıfıra malikdir, buna görə N (x) = 0 təyin edin. Misal üçün 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Bu kvadratikanın diskriminantı b -dir 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Diskriminant mənfi olduğu üçün N (x) və nəticədə f (x) in əsl kökü yoxdur. Qrafik heç vaxt x -eksenini keçmir. Hər hansı bir sıfır tapılarsa, bu nöqtələri qrafikə əlavə edin.
Addım 4. Şaquli asimptotları tapın
Məxrəc sıfır olduqda şaquli bir asimptot meydana gəlir. 4 x + 2 = 0 ayarı vertikal xətti x = -1/2 verir. Hər bir şaquli asimptotu yüngül və ya kəsikli bir xətt ilə qrafikləşdirin. Əgər x -in bəzi dəyəri həm N (x) = 0, həm də D (x) = 0 edərsə, orada şaquli asimptot ola bilər və ya olmaya bilər. Bu nadir haldır, ancaq baş verərsə onunla necə məşğul olacağınıza dair tövsiyələrə baxın.
Addım 5. 2 -ci addımdakı bölgünün qalan hissəsinə baxın
Nə vaxt müsbət, mənfi və ya sıfırdır? Misalda, qalan hissənin sayı hər zaman müsbət olan 17 -dir. Məxrəc, 4 x + 2, şaquli asimptotun sağında müsbət, solda isə mənfidir. Bu o deməkdir ki, qrafika x -in böyük müsbət dəyərləri üçün yuxarıdakılardan xətti asimptota yaxınlaşır və x -in böyük mənfi dəyərləri üçün aşağıdan yaxınlaşır. 17/(8 x + 4) heç vaxt sıfır ola bilmədiyi üçün bu qrafik heç vaxt y = (1/2) x - (7/4) xəttini kəsmir. Qrafikə heç bir şey əlavə etməyin, ancaq sonradan bu nəticələrə diqqət yetirin.
Addım 6. Yerli ekstremal tapın
N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0 olduqda lokal ekstremum meydana gələ bilər. Misal üçün N '(x) = 4 x - 6 və D' (x) = 4 N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Genişləndirmə, birləşdirmə və 4 yarpağa bölmək x 2 + x - 4 = 0. Kvadratik formula x = 3/2 və x = -5/2 yaxınlığındakı kökləri göstərir. (Bunlar dəqiq dəyərlərdən təxminən 0,06 fərqlənir, lakin qrafikimiz bu detal səviyyəsindən narahat olmaq üçün kifayət qədər dəqiq olmayacaq. Layiqli rasional yaxınlaşmanın seçilməsi növbəti addımı asanlaşdırır.)
Addım 7. Hər bir yerli ekstremumun y dəyərlərini tapın
Müvafiq y dəyərlərini tapmaq üçün əvvəlki addımdakı x dəyərlərini orijinal rasional funksiyaya qoşun. Misalda f (3/2) = 1/16 və f (-5/2) = -65/16. Bu nöqtələri (3/2, 1/16) və (-5/2, -65/16) qrafikə əlavə edin. Əvvəlki addımda təxmin etdiyimiz üçün bunlar dəqiq minimum və maksimum deyil, amma yəqin ki, yaxındır. (Bilirik (3/2, 1/16) yerli minimuma çox yaxındır. 3 -cü addımdan etibarən bilirik ki, x> -1/2 olduqda y həmişə müsbət olur və 1/16 kimi kiçik bir dəyər tapdıq, ən azından bu vəziyyətdə səhv, ehtimal ki, xəttin qalınlığından azdır.)
Addım 8. Nöqtələri bir -birinə bağlayın və qrafiki düzgün istiqamətdən yaxınlaşmağa çalışaraq bilinən nöqtələrdən asimptotlara qədər uzatın
3 -cü addımda tapılan nöqtələr istisna olmaqla, x -eksisini keçməməyə diqqət edin. 5 -ci addımda tapılan nöqtələr istisna olmaqla, üfüqi və ya xətti asimptotu keçməyin. əvvəlki addımda tapılan həddindən artıq.
Video - Bu xidmətdən istifadə edərək bəzi məlumatlar YouTube ilə paylaşıla bilər
İpuçları
- Bu addımlardan bəziləri yüksək dərəcəli polinomun həllini əhatə edə bilər. Faktorizasiya, düsturlar və ya digər vasitələrlə dəqiq həllər tapa bilmirsinizsə, Newton metodu kimi ədədi üsullardan istifadə edərək həlləri qiymətləndirin.
- Adımları ardıcıllıqla izləsəniz, kritik dəyərlərin lokal maksimum, yerli minimum və ya heç olmadığını müəyyən etmək üçün ümumiyyətlə ikinci törəmə testlər və ya bənzər potensial mürəkkəb metodlardan istifadə etmək lazım deyil. Əvvəlki addımlardakı məlumatları və bir az məntiqdən istifadə etməyə çalışın.
- Bunu yalnız əvvəlcədən hesablama üsulları ilə etməyə çalışırsınızsa, hər bir asimptot cütü arasında bir neçə əlavə (x, y) sifarişli cüt hesablayaraq yerli ekstremalın tapılması ilə bağlı addımları əvəz edə bilərsiniz. Alternativ olaraq, bunun niyə işlədiyini maraqlandırmırsınızsa, bir precalculus tələbəsinin bir polinomun törəməsini götürüb N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = həll etməsinin heç bir səbəbi yoxdur. 0.
-
Nadir hallarda, pay və məxrəcin ortaq qeyri -sabit faktoru ola bilər. Adımları izləyirsinizsə, bu eyni yerdə sıfır və şaquli bir asimptot olaraq görünər. Bu mümkün deyil və əslində baş verənlər aşağıdakılardan biridir:
- N (x) dəki sıfır, D (x) sıfırından daha çox çoxluğa malikdir. Bu nöqtədə f (x) qrafiki sıfıra yaxınlaşır, lakin orada müəyyən edilməmişdir. Bunu nöqtənin ətrafında açıq bir dairə ilə göstərin.
- N (x) -də sıfır və D (x) -də sıfır bərabər çoxluğa malikdir. Qrafik bu x dəyəri üçün sıfır olmayan bir nöqtəyə yaxınlaşır, lakin orada müəyyən edilməmişdir. Bunu açıq dairə ilə bir daha göstərin.
- N (x) dəki sıfır, D (x) sıfırından daha aşağı çoxluğa malikdir. Burada şaquli bir asimptot var.
